Materi Matematika kelas 9 k13 revisi

1.1 Bilangan Berpangkat

Perpangkatan adalah perkalian berulang dari suatu bilangan yang sama.

Bentuk umum dari perpangkatan adalah aⁿ = a × a × a × … × a, dengan n bilangan bulat positif sebanyak n

Contoh, perpangkatan 3 adalah 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35

3⁵ adalah perpangkatan 3.

3 disebut sebagai bilangan pokok (basis) sedangkan 5 sebagai pangkat (eksponen).

1.2 Perkalian pada Perpangkatan

Hasil kali dari perpangkatan dengan basis yang sama

Sifat perkalian dalam perpangkatan: a^m × aⁿ = a^{m + n}

Contoh: 3² × 3³ = 3^{2 + 3} = 35

Hasil pemangkatan dari perpangkatan dengan basis yang sama

Sifat pemangkatan pada perpangkatan: (a^m)n = a^m∙n = a^mn

Contoh: (3²)³ = 3^2∙3 = 3⁶

Hasil perpangkatan dari suatu perkalian bilangan

Sifat perpangkatan dari perkalian bilangan: (a∙b)^m = a^mb^m

Contoh: (2∙3)³ = 2³∙3³

1.3 Pembagian pada Perpangkatan

Hasil bagi dari perpangkatan dengan basis yang sama

Perpangkatan pada pecahan

1.4 Pangkat Nol, Pangkat Negatif, dan Bentuk Akar

PANGKAT NOL

Untuk setiap a bilangan real tak nol, a⁰ bernilai 1

Secara aljabar dapat ditulis kembali sebagai a⁰ = 1 untuk a bilangan real dan a ≠ 0

PANGKAT NEGATIF

Untuk setiap a bilangan real tak nol dan n bilangan bulat, berlaku:

untuk a ≠ 0, a bilangan real dan n bilangan bulat

BENTUK AKAR

1.5 Notasi Ilmiah (Bentuk Baku)

Notasi ilmiah (bentuk baku) dari suatu bilangan positif dituliskan dalam bentuk a × 10ⁿ

dengan … 1 < a < 10 … dan n adalah bilangan bulat.

Misalkan notasi ilmiah untuk 2.300 adalah

Bab II Persamaan dan Fungsi Kuadrat

2.1 Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat satu variabel adalah suatu persamaan yang pangkat tertingginya dua. Secara umum, bentuk persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0, a, b, c ∈ R.

Konstanta a, b, c pada persamaan ini disebut sebagai koefisien.

Beberapa contoh persamaan kuadrat yaitu: 3x² – 7x + 5 = 0, x² – x + 12 = 0, x² – 9 = 0, 2x(x – 7) = 0 dan lainnya.

2.2 Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat merupakan fungsi yang berbentuk y = ax2 + bx + c, dengan a ≠ 0.

Grafik dari fungsi kuadrat menyerupai parabloa, sehingga dapat dikatakan juga sebagai fungsi parabola.

Nilai a pada fungsi y = ax2 + bx + c akan mempengaruhi bentuk grafiknya. Jika a positif maka grafiknya akan terbuka ke atas.

Sebaliknya jika a negatif maka grafiknya akan terbuka ke bawah. Jika nilai a semakin besar maka grafiknya menjadi lebih “kurus”.

2.3 Sumbu Simetri dan Nilai Optimum

 Fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c mempunyai sumbu simetri

Dengan nilai optimumnya adalah

Langkah-langkah mensketsa grafik fungsi kuadrat:

Langkah 1. Menentukan bentuk parabola (terbuka ke atas atau ke bawah).

Langkah 2. Menentukan perpotongan grafik terhadap sumbu-x; yaitu, koordinat titik potongnya adalah (x₁, 0) yang memenuhi persamaan f(x₁) = 0

Langkah 3. Menentukan perpotongan grafik terhadap sumbu-y; yaitu, koordinat titik potongnya adalah (0, y₁) dengan y₁ didapatkan berdasarkan persamaan y₁ = f(0)

Langkah 4. Menentukan sumbu simetri dan nilai optimum dari grafik fungsi.

Langkah 5. Mensketsa grafik fungsi kuadrat berdasarkan langkah (1), (2), (3), dan (4).

Materi Matematika Kelas 9 Kurikulum 2013 Revisi 2018

2.4 Menentukan Fungsi Kuadrat

Untuk menentukan fungsi kuadrat diperlukan beberapa informasi, di antaranya sebagai berikut.

1. Beberapa titik koordinat yang dilalui fungsi kuadrat tersebut.

2. Titik potong fungsi kuadrat tersebut di sumbu-x.

3. Titik potong fungsi kuadrat tersebut di sumbu-y.

4. Titik puncak dan sumbu simetri.

Langkah pertama untuk mendapatkannya adalah dengan memisalkan fungsi kuadrat tersebut dengan f(x) = ax2 + bx + c. Berikut ini adalah langkah selanjutnya berdasarkan informasi-informasi di atas.

1. Jika diketahui beberapa titik koordinat yang lain.

    Jika fungsi kuadrat tersebut melalui koordinat (p, q), maka diperoleh f(p) = q.

2. Jika diketahui titik potong fungsi kuadrat tersebut di sumbu-x.

    Jika fungsi kuadrat memotong sumbu-x di (p, 0) dan (q, 0) maka fungsi kuadrat tersebut dapat      dituliskan menjadi f(x) = a(x − p)(x − q).

3. Jika diketahui titik potong fungsi kuadrat tersebut di sumbu-y.

    Jika fungsi kuadrat memotong sumbu-x di (0, r) maka diperoleh f(0) = r

    Dengan mensubstitusikan nilai 0 pada f(x) diperoleh f(0) = a(0)2 + b(0) + c = c.

   Sehingga diperoleh c = r.

2.5 Aplikasi Fungsi Kuadrat

Langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah optimalisasi fungsi kuadrat.

Langkah 1. Tentukan variabel yang akan dioptimalisasi yaitu y dan variabel yang bebas yaitu x.

Langkah 2. Jika model y = ax2 + bx + c tidak diketahui maka bentuklah model y = ax2 + bx + c dari permasalahan.

Langkah 3. Tentukan nilai optimum dari model yang didapatkan pada Langkah 2.

Bab III Transformasi

3.1 Pencerminan (Refleksi)

Pencerminan merupakan jenis transformasi yang memindahkan setiap titik pada suatu bidang dengan menggunakan sifat benda dan bayangannya pada cermin datar.

Sifat bayangan benda yang dibentuk oleh pencerminan di antaranya sebagai berikut.

– Bayangan suatu bangun yang dicerminkan memiliki bentuk dan ukuran yang sama dengan bangun aslinya.

– Jarak bayangan ke cermin sama dengan jarak benda aslinya ke cermin.

– Bayangan bangun pada cermin saling berhadapan dengan bangun aslinya.

3.2 Pergeseran (Translasi)

Translasi merupakan salah satu jenis transformasi yang bertujuan untuk memindahkan semua titik suatu bangun dengan jarak dan arah yang sama.

3.3 Rotasi

Merupakan salah satu bentuk transformasi yang memutar setiap titik pada gambar sampai sudut dan arah tertentu terhadap titik yang tetap.

Titik tetap ini disebut pusat rotasi.

Besarnya sudut dari bayangan benda terhadap posisi awal disebut dengan sudut rotasi.

3.4 Dilatasi

Dilatasi terhadap titik pusat merupakan perkalian dari koordinat tiap-tiap titik pada suatu bangun datar dengan faktor skala sebesar k.

Faktor skala menentukan apakah suatu dilatasi merupakan pembesaran atau pengecilan.

Secara umum dilatasi dari suatu koordinat (x, y) dengan faktor skala k akan menghasilkan koordinat (kx, ky) atau dapat ditulis (x, y) → (kx, ky).

Ketika k > 1 maka dilatasi tersebut termasuk ke dalam pembesaran, tetapi jika 0 < k < 1 maka dilatasi tersebut termasuk ke dalam pengecilan.

Untuk memperbesar atau memperkecil bangun, letak pusat dilatasi dapat di dalam, di luar, atau pada tepi bangun yang akan didilatasikan.

Bab IV Kekongruenan dan Kesebangunan

4.1 Kekongruenan Bangun Datar

Dua bangun yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama dinamakan kongruen.

Dua bangun segi banyak (poligon) dikatakan kongruen jika memenuhi dua syarat, yaitu:

(i) sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.

(ii) sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

4.2 Kekongruenan Dua Segitiga

Dua bangun yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama dinamakan kongruen.

Dua segitiga dikatakan kongruen jika memenuhi syarat berikut ini:

(i) sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang

(ii) sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

4.3 Kesebangunan Bangun Datar

Dua bangun datar yang mempunyai bentuk yang sama disebut sebangun.

Tidak perlu ukurannya sama, tetapi sisi-sisi yang bersesuaian sebanding (proportional) dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Perubahan bangun satu menjadi bangun lain yang sebangun melibatkan perbesaran atau

Bab II Persamaan dan Fungsi Kuadrat

2.1 Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat satu variabel adalah suatu persamaan yang pangkat tertingginya dua. Secara umum, bentuk persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0, a, b, c ∈ R.

Konstanta a, b, c pada persamaan ini disebut sebagai koefisien.

Beberapa contoh persamaan kuadrat yaitu: 3x² – 7x + 5 = 0, x² – x + 12 = 0, x² – 9 = 0, 2x(x – 7) = 0 dan lainnya.

2.2 Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat merupakan fungsi yang berbentuk y = ax2 + bx + c, dengan a ≠ 0.

Grafik dari fungsi kuadrat menyerupai parabloa, sehingga dapat dikatakan juga sebagai fungsi parabola.

Nilai a pada fungsi y = ax2 + bx + c akan mempengaruhi bentuk grafiknya. Jika a positif maka grafiknya akan terbuka ke atas.

Sebaliknya jika a negatif maka grafiknya akan terbuka ke bawah. Jika nilai a semakin besar maka grafiknya menjadi lebih “kurus”.

2.3 Sumbu Simetri dan Nilai Optimum

 Fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c mempunyai sumbu simetri

Dengan nilai optimumnya adalah

Langkah-langkah mensketsa grafik fungsi kuadrat:

Langkah 1. Menentukan bentuk parabola (terbuka ke atas atau ke bawah).

Langkah 2. Menentukan perpotongan grafik terhadap sumbu-x; yaitu, koordinat titik potongnya adalah (x₁, 0) yang memenuhi persamaan f(x₁) = 0

Langkah 3. Menentukan perpotongan grafik terhadap sumbu-y; yaitu, koordinat titik potongnya adalah (0, y₁) dengan y₁ didapatkan berdasarkan persamaan y₁ = f(0)

Langkah 4. Menentukan sumbu simetri dan nilai optimum dari grafik fungsi.

Langkah 5. Mensketsa grafik fungsi kuadrat berdasarkan langkah (1), (2), (3), dan (4).

2.4 Menentukan Fungsi Kuadrat

Untuk menentukan fungsi kuadrat diperlukan beberapa informasi, di antaranya sebagai berikut.

1. Beberapa titik koordinat yang dilalui fungsi kuadrat tersebut.

2. Titik potong fungsi kuadrat tersebut di sumbu-x.

3. Titik potong fungsi kuadrat tersebut di sumbu-y.

4. Titik puncak dan sumbu simetri.

Langkah pertama untuk mendapatkannya adalah dengan memisalkan fungsi kuadrat tersebut dengan f(x) = ax2 + bx + c. Berikut ini adalah langkah selanjutnya berdasarkan informasi-informasi di atas.

1. Jika diketahui beberapa titik koordinat yang lain.

    Jika fungsi kuadrat tersebut melalui koordinat (p, q), maka diperoleh f(p) = q.

2. Jika diketahui titik potong fungsi kuadrat tersebut di sumbu-x.

    Jika fungsi kuadrat memotong sumbu-x di (p, 0) dan (q, 0) maka fungsi kuadrat tersebut dapat      dituliskan menjadi f(x) = a(x − p)(x − q).

3. Jika diketahui titik potong fungsi kuadrat tersebut di sumbu-y.

    Jika fungsi kuadrat memotong sumbu-x di (0, r) maka diperoleh f(0) = r

    Dengan mensubstitusikan nilai 0 pada f(x) diperoleh f(0) = a(0)2 + b(0) + c = c.

   Sehingga diperoleh c = r.

2.5 Aplikasi Fungsi Kuadrat

Langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah optimalisasi fungsi kuadrat.

Langkah 1. Tentukan variabel yang akan dioptimalisasi yaitu y dan variabel yang bebas yaitu x.

Langkah 2. Jika model y = ax2 + bx + c tidak diketahui maka bentuklah model y = ax2 + bx + c dari permasalahan.

Langkah 3. Tentukan nilai optimum dari model yang didapatkan pada Langkah 2.

Bab III Transformasi

3.1 Pencerminan (Refleksi)

Pencerminan merupakan jenis transformasi yang memindahkan setiap titik pada suatu bidang dengan menggunakan sifat benda dan bayangannya pada cermin datar.

Sifat bayangan benda yang dibentuk oleh pencerminan di antaranya sebagai berikut.

– Bayangan suatu bangun yang dicerminkan memiliki bentuk dan ukuran yang sama dengan bangun aslinya.

– Jarak bayangan ke cermin sama dengan jarak benda aslinya ke cermin.

– Bayangan bangun pada cermin saling berhadapan dengan bangun aslinya.

3.2 Pergeseran (Translasi)

Translasi merupakan salah satu jenis transformasi yang bertujuan untuk memindahkan semua titik suatu bangun dengan jarak dan arah yang sama.

3.3 Rotasi

Merupakan salah satu bentuk transformasi yang memutar setiap titik pada gambar sampai sudut dan arah tertentu terhadap titik yang tetap.

Titik tetap ini disebut pusat rotasi.

Besarnya sudut dari bayangan benda terhadap posisi awal disebut dengan sudut rotasi.

3.4 Dilatasi

Dilatasi terhadap titik pusat merupakan perkalian dari koordinat tiap-tiap titik pada suatu bangun datar dengan faktor skala sebesar k.

Faktor skala menentukan apakah suatu dilatasi merupakan pembesaran atau pengecilan.

Secara umum dilatasi dari suatu koordinat (x, y) dengan faktor skala k akan menghasilkan koordinat (kx, ky) atau dapat ditulis (x, y) → (kx, ky).

Ketika k > 1 maka dilatasi tersebut termasuk ke dalam pembesaran, tetapi jika 0 < k < 1 maka dilatasi tersebut termasuk ke dalam pengecilan.

Untuk memperbesar atau memperkecil bangun, letak pusat dilatasi dapat di dalam, di luar, atau pada tepi bangun yang akan didilatasikan.

Bab IV Kekongruenan dan Kesebangunan

4.1 Kekongruenan Bangun Datar

Dua bangun yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama dinamakan kongruen.

Dua bangun segi banyak (poligon) dikatakan kongruen jika memenuhi dua syarat, yaitu:

(i) sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.

(ii) sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

4.2 Kekongruenan Dua Segitiga

Dua bangun yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama dinamakan kongruen.

Dua segitiga dikatakan kongruen jika memenuhi syarat berikut ini:

(i) sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang

(ii) sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

4.3 Kesebangunan Bangun Datar

Dua bangun datar yang mempunyai bentuk yang sama disebut sebangun.

Tidak perlu ukurannya sama, tetapi sisi-sisi yang bersesuaian sebanding (proportional) dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Perubahan bangun satu menjadi bangun lain yang sebangun melibatkan perbesaran atau pengecilan.

Dengan kata lain dua bangun dikatakan sebangun jika memenuhi syarat:

1. perbandingan panjang sisi yang bersesuaian senilai
2. sudut yang bersesuaian besarnya sama

4.4 Kesebangunan Dua Segitiga

Dua segitiga dikatakan sebangun jika hanya jika memenuhi syarat berikut ini.

(i) Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian senilai.

(ii) Besar sudut-sudut yang bersesuaian sama.

Bab V Bangun Ruang Sisi Lengkung

5.1 Tabung

Tabung adalah bangun ruang sisi lengkung yang dibentuk oleh dua buah lingkaran identik yang sejajar dan sebuah persegi panjang yang mengelilingi kedua lingkaran tersebut.

Tabung memiliki tiga sisi yakni dua sisi datar dan satu sisi lengkung.

Benda-benda dalam kehidupan sehari-hari yang menyerupai tabung adalah tong sampah, kaleng susu, lilin, dan pipa.

Luas tabung ekuivalen dengan jumlahan semua luas bangun penyusun dari jaring-jaring tabung. Jaring-jaring tabung terdiri atas dua lingkaran dan satu persegi panjang.

Volume tabung adalah hasil perkalian dari luas alas tabung dengan tinggi tabung atau dapat dirumuskan sebagai berikut:

5.2 Kerucut

Kerucut adalah bangun ruang sisi lengkung yang dapat dibentuk dari tabung dengan mengubah tutup tabung menjadi titik. Titik tersebut biasanya disebut dengan titik puncak.

Kerucut memiliki dua sisi, yaitu satu sisi datar dan satu sisi lengkung. Kerucut merupakan limas dengan alas lingkaran.

Benda-benda dalam kehidupan sehari-hari yang menyerupai kerucut adalah topi ulang tahun, topi petani, dan cone es krim.

Luas permukaan ekuivalen dengan jumlahan semua luas bangun penyusun dari jaring-jaring kerucut. Jaring-jaring kerucut terdiri atas satu lingkaran dan satu selimut yang berbentuk juring.

Volume kerucut adalah 1/3 bagian dari volume tabung dengan jari-jari dan tinggi yang sama atau dapat dirumuskan sebagai berikut.

5.3 Bola 

Bola adalah bangun ruang sisi lengkung yang dibentuk dari tak hingga lingkaran yang memiliki jari-jari sama panjang dan berpusat pada titik yang sama.

Bola hanya memiliki satu sisi yang merupakan sisi lengkung.

Bola dapat dibentuk dengan memutar/merotasi setengah lingkaran sebesar 360^o dengan diameter sebagai sumbu rotasi.

Luas permukaan bola adalah sama dengan 4 kali luas lingkaran yang memiliki jari-jari yang sama atau dapat dituliskan sebagai berikut:

Volume bola adalah hasil kali 4/3π dengan pangkat tiga jari-jari bola tersebut atau dapat dituliskan sebagai berikut:

sumber: https://www.cahayapendidikan.com/materi-matematika-kelas-9-kurikulum-2013-revisi-2018